TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 236

Chama-se acoplamento vibrónico ou acoplamento electrão-fonão à interação entre estados electrónicos e estados vibratórios (ou fonões). Também é chamado efeito pseudo-Jahn-Teller, pela sua relação conceptual com o conhecido efeito Jahn-Teller.^[1]^[2]

Este acoplamento tem consequências perceptíveis nas propriedades ópticas, magnéticas e de localização-deslocalização electrónica na molécula. Opticamente, a banda de intervalência que apresentam os compostos de valência mista torna-se mais complexa e adquire uma estrutura pelo acoplamento vibrónico.^[3] Também o acoplamento magnético é afectado, se existem electrões desemparelhados no sistema. Dependendo do tipo de acoplamento vibrónico que predomine, a deslocalização electrónica pode ser intensificada o diminuída^[4]

Definição[editar | editar código-fonte]

O acoplamento vibrônico descreve a mistura de estados electrónicos diferentes como um resultado de pequenas vibrações.

$\mathbf {f} _{k'k}\equiv \langle \,\chi _{k'}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\,|\,{\hat {\nabla }}_{\mathbf {R} }\chi _{k}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\rangle _{(\mathbf {r} )}$

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll
D

As equações de Roothaan são uma representação do método de Hartree-Fock em um conjunto de base não ortonormal. Elas se aplicam para moléculas isoladas ou átomos onde toda orbita molecular ou orbita atômica, respectivamente, estão duplamente ocupadas. Isto é comumente chamada de teoria de Hartree-Fock restrita.

Este método foi desenvolvido de forma independente pelos físicos Clemens C. J. Roothaan e George G. Hall em 1951, e é algumas vezes chamado de equações de Roothaan-Hall.^[1]^[2]^[3] As equações de Roothaan podem ser escritas da seguinte forma:

\mathbf {F} \mathbf {C} =\mathbf {S} \mathbf {C} \mathbf {\epsilon }

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

onde F também é chamado de matriz de Fock (que depende dos coeficientes C por causa das interações entre elétrons), C é uma matriz de coeficientes, S é uma matriz de sobreposição da função de base e

\epsilon

é a matriz das orbitais das energias.

Uma função de Green, G(x, s), de um operador diferencial linear L = L(x), atuando em distribuições de um subconjunto do espaço euclidiano Rⁿ, em um ponto s, é qualquer solução de

LG(x,s)=\delta (x-s)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

onde

\delta

é a função delta de Dirac. Esta propriedade de uma função de Green pode ser explorada para resolver equações diferenciais da forma

Lu(x)=f(x)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Se o núcleo de L é não-trivial, então a função de Green não é única. No entanto, na prática, uma combinação de simetria, condições de contorno e/ou outros critérios impostos a priori dará uma função de Green única. Além disso, funções de Green em geral são distribuições, não necessariamente funções próprias.

Funções de Green também são uma ferramenta útil na resolução de equações da onda, equações de difusão e na mecânica quântica, onde a função de Green do hamiltoniano é um conceito chave, com ligações importantes para o conceito de densidade dos estados. À via de nota, a função de Green utilizada na física é geralmente definida com o sinal oposto, isto é,

LG(x,s)=-\delta (x-s)\,

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Esta definição não altera significativamente qualquer uma das propriedades da função de Green.

Se o operador é invariante por translações, o que ocorre quando L tem coeficientes constantes em relação a x, então a função de Green pode ser considerada como um operador de convolução, ou seja,

G(x,s)=G(x-s)\,

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Neste caso, a função de Green é o mesmo que a resposta ao impulso da teoria de sistemas LTI.

Na física quântica, a interação spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou acoplamento spin-órbita) é qualquer interação de partículas de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atômica de elétrons devido a uma interação entre o momento de dipolo magnético do spin e o campo magnético interno do átomo gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o momento angular e da força nuclear forte, ocorre por prótons e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas.^[1] A interação spin-órbita é uma das causas da anisotropia magnetocristalina.

Momentos angulares e momentos magnéticos (imagem semi-clássica)[editar | editar código-fonte]

Uma corrente numa espira tem associado a ela um momento magnético

{\vec {\mu }}=I.{\vec {A}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

onde

\scriptstyle I

é a intensidade da corrente e

\scriptstyle {\vec {A}}

é o vector área cuja direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido consistente com a regra do parafuso de rosca direita. Onde,

A=\pi .r^{2}

e i = carga do electrão X número de vezes por segundo que o electrão passa num dado ponto = e.f onde f é a frequência de rotação do electrão.

Módulo do momento de dípolo magnético

|{\vec {\mu }}|=I.A=(e.f).(\pi .r^{2})

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Cuja direção é oposta a do momento angular orbital

\scriptstyle {\vec {L}}

porque o electrão possui carga negativa.

Agora

|{\vec {L}}|=m.v.r=.(2\pi .f.r)r=2mf\pi .r^{2}={\frac {2m}{e}}.|{\vec {\mu }}|

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Portanto

{\vec {\mu }}={\frac {e}{2m}}.{\vec {L}}

(Z)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Dado que o momento angular é quantizado temos:

{\vec {I}}=m\hbar {\hat {I}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Na primeira órbita de Bohr, m = 1 e a equação (Z) torna-se

{\vec {\mu }}_{i}={\frac {-e\hbar {\hat {I}}}{2m}}=-{\vec {\mu }}_{B}{\hat {I}}

(Y)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

onde

\mu _{B}

é chamado magnetão de Bohr e o seu valor é dado por

\mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Pode-se ver da Equação (Y) que

\scriptstyle {\vec {\mu }}_{i}

é anti-paralelo ao momento angular orbital.

O rácio entre o momento magnético e o momento angular orbital é chamado o rácio giromagnético clássico,

\gamma _{i}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{i}}{\vec {I}}}{\Bigg |}={\frac {e}{2m}}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}

(X)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

O momento angular de spin também possui um momento magnético a ele associado.

O seu rácio giromagnético é aproximadamente duas vezes o valor clássico para o momento orbital, isto é,

\gamma _{s}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{s}}{\vec {S}}}{\Bigg |}={\frac {e}{m}}

(K)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Isso significa que o spin é duas vezes mais eficaz em produzir um momento magnético do que o momento angular.

Equações (X) e (K) são muitas vezes combinados, escrevendo

\gamma ={\frac {ge}{2m}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

onde a grandeza g é chamada o fator de divisão espectroscópico. Para momentos angulares orbitais g = 1, para spin apenas g ≈ 2 (embora experimentalmente g = 2.004).

Para os Estados que são misturas de momento angular orbital e momento angular de spin, g não é inteiro .

Dado que

s={\frac {1}{2}}\hbar

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

O momento magnético devido ao spin do electrão é:

\mu _{s}=\gamma _{s}|{\vec {s}}|={\frac {e}{m}}.{\frac {\hbar }{2}}=\mu _{B}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Assim, a menor unidade de momento magnético para o electrão é o magnetão de Bohr, quer se combine momento angular orbital ou spin.

A interação spin-órbita (mecânica quântica)[editar | editar código-fonte]

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.^[2]

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

\Psi _{\text{total}}=\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi ).\chi (spin).e^{-iE_{n}t/\hbar }

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

\Psi _{\text{total}}={\Bigg |}R_{nl}.e^{-i.E_{n}{\frac {t}{\hbar }}}{\Bigg \rangle }.|l,m\rangle .|s,m_{s}\rangle

(P)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

\lfloor {\hat {L}},{\hat {S}}\rfloor =0

Neste caso,

\scriptstyle \Psi _{\text{total}}

é uma auto-função de ambos

\scriptstyle L_{z}

\scriptstyle S_{z}

e portanto

\scriptstyle m_{l}

\scriptstyle m_{s}

são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de

\scriptstyle {\vec {L}}

\scriptstyle {\vec {S}}

são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre

\scriptstyle {\vec {L}}

\scriptstyle {\vec {S}}

chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza

\scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}

Dado que

\scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}

não comuta quer com

\scriptstyle {\vec {L}}

ou com

\scriptstyle {\vec {S}}

, a equação (P) torna-se incorreta e

\scriptstyle m_{l}

\scriptstyle m_{s}

deixam de ser bons números quânticos.

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

{\vec {\varepsilon }}={\frac {Ze}{r^{2}}}{\hat {r}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Onde

\scriptstyle {\hat {r}}

dirige‐se do núcleo em direção ao electrão.

Assumindo que

\scriptstyle \vec{v}

é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é:

{\vec {j}}=-{\frac {Ze}{c}}{\vec {v}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

{\vec {H}}_{e}=-{\frac {Ze}{c}}{\frac {{\vec {v}}\wedge {\hat {r}}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

{\vec {\omega }}_{e}=\gamma {\vec {H}}_{e}=-{\frac {e}{m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge \varepsilon

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Com energia potencial

E_{e}=-{\vec {\mu }}_{s}.{\vec {H}}_{e}=-{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].^[2]

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

{\vec {\omega }}_{L}=-{\frac {e}{2m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}

(T)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

e por uma energia adicional dada por

\Delta E=-{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

{\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}=e{\vec {\varepsilon }}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

e então

{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}={\frac {1}{e}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {v}}\wedge {\vec {r}}={\frac {1}{em_{0}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

A equação (T) torna-se então

{\vec {\omega }}_{L}=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

E a energia adicional

\Delta E=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}.{\vec {S}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

O produto escalar

{\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar s

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Para spin = ½

{\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar .{\frac {1}{2}}\hbar ={\frac {1}{2}}m\hbar ^{2}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

A separação energética se torna então

|\Delta E|={\frac {\hbar ^{2}m}{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

\Delta E={\frac {\lambda _{c}^{2}mZe^{2}}{r^{3}}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Onde

\lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

é o comprimento de onda de Compton

\lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}

{\frac {\lambda _{c}}{2\pi }}

Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de

\scriptstyle {\frac {1}{r^{3}}}

i.e.

{\Bigg \langle }{\frac {1}{r^{3}}}{\Bigg \rangle }={\frac {Z^{2}}{a_{o^{2}}n^{2}l{\Bigg (}l+{\frac {1}{2}}{\Bigg )}(l+1)}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

para

\scriptstyle l\neq 0

De modo que a separação energética se torna

\Delta E={\frac {{\bar {\lambda }}_{c}^{2}m_{i}Z^{3}e}{a_{0}^{2}n^{2}l(l+1/2)(l+1)}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

para

\scriptstyle l\neq 0

Esquemas de acoplamento do momento angular[editar | editar código-fonte]

Consideramos até agora somente o acoplamento do spin e momento orbital de um único electrão por meio da interação spin-órbita. Nós agora vamos considerar o caso de dois electrões nos quais há quatro momentos constituintes.

O modelo de acoplamento j - j[editar | editar código-fonte]

Este modelo assume que a interação de spin-órbita domina as interações electrostáticas entre as partículas.

Assim, nós escrevemos para cada partícula

{\vec {J}}_{1}={\vec {L}}_{1}+{\vec {S}}_{1}\;e\;{\vec {J}}_{2}={\vec {L}}_{2}+{\vec {S}}_{2}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

O momento angular total é obtido combinando

\scriptstyle {\vec {J}}_{1}

\scriptstyle {\vec {J}}_{2}

{\vec {J}}={\vec {J}}_{1}+{\vec {J}}_{2}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

sendo assim temos

j=|j_{1}+j_{2}|,|j_{1}+j_{2}-1|,.....,|j_{1}-j_{2}|

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Ilustramos o acoplamento j-j aplicando-o a dois electrões p não equivalentes.

Para cada electrão

j_{1}=j_{2}={\frac {1}{2}}

{\frac {3}{2}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Em um campo magnético fraco, cada Estado de um determinado j irá desdobrar-se em (2j+1) estados, correspondendo aos valores permitidos de mj.

Embora o acoplamento j-j seja amplamente utilizado para a descrição dos estados nucleares observados em espectroscopia nuclear, não é adequado para muitos sistemas atómicos por causa das interações electrostáticas e outras interações entre os dois electrões.

O esquema de acoplamento de Russell-Saunders[editar | editar código-fonte]

O modelo de acoplamento de Russell-Saunders tem sido mais bem sucedido no enquadramento dos espectros atómicos de todos, excepto dos átomos mais pesados. O modelo pressupõe que a interação electrostática, incluindo forças de intercâmbio,

entre dois electrões domina a interação de spin-órbita. Neste caso, os momentos orbitais e os spins dos dois electrões combinam separadamente para formar

{\vec {L}}={\vec {L}}_{1}+{\vec {L}}_{2}\;e\;{\vec {S}}={\vec {S}}_{1}+{\vec {S}}_{2}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

O momento angular total é dado, por

{\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

O valor absoluto de

\scriptstyle {\vec {L}}

, corresponde a:

|{\vec {L}}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

onde os valores possíveis de L são:

l=l_{1}+l_{2},l_{1}+l_{2}-1...l_{1}-l_{2}

para

l_{1}\geq l_{2}

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

O número quântico l determina as características do nível:

l=0,1,2...{\text{indicam os níveis}}\;S,P,D...

l=1, corresponde ao nível P, mas não significa necessariamente que a configuração de um dos electrões esteja individualmente num estado p.

As transições ópticas seguem as seguintes regras de seleção:

\Delta l=\pm 1

para um só electrão

\Delta l=0,\pm 1

para o sistema total.

significa que os estados quânticos dos dois electrões variam simultaneamente, e em direções opostas, o que só é possível quando o acoplamento é forte, como é o caso dos átomos pesados.

Para dois electrões-p não equivalente temos:

{\textbf {l}}=2,1,\;ou\;0\;e\;s=1\;ou\;0

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

Para cada l e s, os valores de j são

|l+s|,|l+s-1|,....,|l-s|

para cada valor de j existem (2j+1) valores de

\scriptstyle m_{j}

. As combinações são dadas na tabela.

Observar-se-á que, apesar do número de Estados é uma vez mais 36 em um campo magnético fraco, as suas energias não são as mesmas que aquelas no esquema de acoplamento j-j

sexta-feira, 13 de setembro de 2019

O Número de Biot (Bi) é um parâmetro adimensional e fornece um índice simples da razão entre o coeficiente de transferência convectiva de calor na superfície do sólido e a condutância específica do sólido, a razão das resistências dentro de e na superfície de um corpo.

Esta razão determina se ou não as temperaturas dentro de um corpo variam significativamente no espaço, enquanto o corpo se aquece ou arrefece ao longo do tempo, a partir de um gradiente térmico aplicado à sua superfície.

É usado em cálculos de transferência térmica em estado não estacionário (ou transiente). É nomeado em honra ao físico francês Jean-Baptiste Biot (1774–1862).

A hipótese de temperatura uniforme no interior do sólido é válida se a condutância específica do sólido for muito maior do que o coeficiente de transferência convectiva de calor.

Definição[editar | editar código-fonte]

O número de Biot é definido como:

\mathrm {Bi} ={\frac {hL_{c}}{\ k_{b}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde:

h = coeficiente de filme, coeficiente de transferência térmica ou coeficiente convectivo de transferência de calor.
L_C = comprimento característico, o qual é comumente definido como o volume do corpo dividido pela área da superfície do corpo, tal que

{L_{C}}={\frac {V_{\rm {volume}}}{A_{\rm {superficie}}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Lc = V/A (volume/área)
k_b = coeficiente condutivo de calor do corpo

O número de Biot é usado para definir o método a ser utilizado na solução de problemas de transferência de calor transiente.

Se Bi > 0,1 : usa-se as cartas de temperatura transiente
Se Bi < 0,1 : usa-se a análise

Em geral, problemas envolvendo pequenos números de Biot (muito menores que 1) são termicamente simples, devido a campos de temperatura uniformes dentro do corpo. Números de Biot muito maiores que 1 apontam problemas de maior dificuldade devido a não uniformidade dos campos de temperatura dentro do objeto.

O número de Biot tem uma variedade de aplicações, incluindo o uso em cálculos de transferência de calor em superfícies estendidas. O significado físico do número de Biot pode ser razoavelmente compreendida imaginando-se o fluxo de calor a partir de uma pequena esfera de metal quente, repentinamente imerso em uma piscina, para o fluido circundante. O fluxo de calor experimenta duas resistências: a primeira dentro do metal sólido (a qual é influenciada tanto pelo tamanho como pela composição da esfera), e o segundo na superfície da esfera. Se a resistência térmica da interface fluido/esfera excede aquela resistência térmica oferecida pelo interior da esfera metálica, o número de Biot será menor que um. Para sistemas onde é muito inferior a um, o interior da esfera pode ser presumido como sempre tendo a mesma temperatura, embora esta temperatura possa estar mudando, na medida em que o calor passa para a superfície da esfera. A equação para descrever essa mudança de (relativamente uniforme) temperatura dentro do objeto, é uma exponencial simples descrita na lei de Newton do resfriamento.

Em contrapartida, a esfera de metal pode ser grande, fazendo com que o comprimento característico aumente a tal ponto que o número de Biot é maior que um. Agora, gradientes térmicos dentro da esfera tornam-se importantes, apesar de o material da esfera ser um bom condutor. Equivalentemente, se a esfera é feita de um material isolante (pobremente condutivo), tal como madeira ou "isopor", a resistência interna ao fluxo de calor vai superar a da contorno fluido/esfera, mesmo com uma esfera muito menor. Neste caso, novamente, o número de Biot será maior do que um.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Valores do número de Biot menores que 0,1 implicam que a condução de calor dentro do corpo é muito mais rápida que a convecção de calor a partir de sua superfície, e gradientes de temperatura são negligenciáveis dentro dele. Isto pode indicar a aplicabilidade (ou inaplicabilidade) de certos métodos de resolver problemas de transferência de calor transiente. Por exemplo, um número de Biot menor que 0,1 indica tipicamente que 5% de erro irá estar presente quando presupõe-se um modelo discreto de capacitância de transferência de calor transiente (também chamado de análise discreta de sistema).^[1]^[2] Normalmente este tipo de análise leva a um comportamento exponencial simples de aquecimento ou resfriamento (aquecimento ou resfriamento "Newtonianos") uma vez que a quantidade de energia térmica (vulgarmente, quantidade de "calor") no corpo é diretamente proporcional a sua temperatura, a qual por sua vez determina a taxa de transferência de calor para dentro ou para fora dele. Isso leva a uma simples equação diferencial de primeira ordem que descreve a transferência de calor nestes sistemas.

Tendo-se um número de Biot menor que 0,1 caracteriza uma substância como "termicamente fina", e o calor pode ser considerado constante em todo o volume do material. O oposto é também verdadeiro: Um número de Biot maior que 0,1 (uma substância a "termicamente espessa") indica que não pode-se fazer esta presuposição, e equações de transferência de calor mais complicadas para "transferência de calor transiente" irão ser requeridas para descrever o campo de temperatura variante no tempo e não espacialmente uniforme dentro do corpo material.^[3]

Análogo para a transferência de massa[editar | editar código-fonte]

Uma versão análoga do número de Biot (usualmente chamado o "número de Biot de transferência de massa", ou

\mathrm {Bi} _{m}

) é também usado em processos de difusão de massa:

\mathrm {Bi} _{m}={\frac {h_{m}L_{C}}{D_{AB}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde:

h_m - coeficiente de película de transferência de massa
L_C - comprimento característico
D_AB - difusividade de massa.

O número de Biot de transferência de massa pode ser interpretado como a razão entre a resistência interna e a resistência externa à transferência de massa por difusão.^[4]^[5] Quanto maior o valor de

\mathrm {Bi} _{m}

, menor será a influência da resistência externa sobre o mecanismo de difusão. Se Bi > 200, o erro relativo no cálculo do coeficiente de difusão, devido ao fato de se desprezar a resistência externa, é considerado menor do que 1%.^[6]

Este número adimensional específico é muito importante na indústria de produção de alimentos, como por exemplo, para ter-se o controle da quantidade de cloreto de sódio retida em determinados produtos, como o queijo.^[7]

Em física e engenharia, o número de Fourier (Fo) ou módulo de Fourier, em homenagem a Joseph Fourier, é um número adimensional que caracteriza a condução de calor. Conceptualmente, é o rácio entre a taxa de condução de calor para a taxa de armazenamento de energia térmica. É um número adimensional, que tal como o número de Biot, que caracteriza os problemas de condução transiente, sendo definido como:^[1]

{\mbox{Fo}}={\frac {\alpha t}{R^{2}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde,

α representa a difusividade térmica [m²/s]
t é o tempo característico [s]
R é o comprimento onde ocorre a difusão [m]

Em física, a equação do calor é um modelo matemático para a difusão de calor em sólidos. Este modelo consiste em um equação de derivadas parciais que muitas vezes é também chamada de equação da difusão (térmica).

A equação do calor prediz que se um corpo a uma temperatura T é submerso em um recipiente com água a menor temperatura, a temperatura do corpo diminuirá, e finalmente (teoricamente depois de um tempo infinito, e sempre que não existam fontes de calor externas) a temperatura do corpo e a da água serão iguais (estarão em equilíbrio térmico).

Existem diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não possua fontes de calor, e é escrita:

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Aqui,

u=u(x,y,z,t)\,

representa o campo de temperaturas e é a função incógnita.

\eta \,

é o coeficiente de difusão térmica.

Na presença de fontes de calor, a equação toma a seguinte forma:

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+f({\vec x},t)

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos campos da ciência. Na matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é uma versão mais geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão química.